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Euations are more important to me, because politics is for the present, but an equation is something for eternity.

   A. Einstein

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IL MODELLO DELLA DISTANZA

G.Scarfi - Associazione Astrofili Spezzini

Il modello della distanza è un numero proporzionale alla distanza dell’oggetto.

Matematicamente si indica con D.M. oppure con la lettera greca "m". Il D.M. in pratica  corrisponde alla somma, in valore assoluto, della magnitudine apparente, che indicheremo con "m" e della magnitudine assoluta che indicheremo con "M".

Ricordiamo che la magnitudine assoluta è la luminosità che avrebbe un oggetto se fosse posto a 10 PARSEC o 32.6 anni luce di distanza dalla terra. Con questo tipo di calcolo si può avere una stima della luminosità dell'oggetto indipendentemente dalla distanza a cui esso è posto.

Matematicamente il D.M. si esprime con la seguente formula:

(1°)  D.M.=m-M          m=mag. apparente                      M=mag.  assoluta

Naturalmente i due valori di magnitudine devono essere espressi nella stessa lunghezza d'onda.

ESEMPIO: GALASSIA NGC 4321 (M100) alla lunghezza d'onda del blu

M=-21.76        m=10.00                   D.M.=10.00-(-21.76)=31.76

Chiaramente da questa formula si possono estrapolare sia "m" che "M" e quindi potremmo scrivere che:

(2°)   m=DM+M

(3°)   M=m-DM

Questi due passaggi anche se apparentemente possono sembrare banali ci verranno successivamente molto utili nelle applicazioni più importanti dell'uso del D.M. Bisogna però precisare a questo punto la formula che meglio esprimerebbe il valore del modello della distanza è la seguente:

(4°)   DM=m-M-Dv         dove Dv= estinzione galattica

Infatti a seconda della direzione in cui osserviamo, rispetto al piano della nostra galassia, nubi di materia oscura interstellare si anteporranno tra noi e la galassia osservata. Tale fenomeno concorrerà quindi a falsare il valore della magnitudine apparente. Se ad esempio osserviamo un oggetto posto molto vicino al piano galattico avremmo un valore di Dv molto più alto rispetto ad un oggetto posto a 90° da esso. Tale valore però non è mai precisamente conosciuto ed è inoltre molto variabile anche tra zone prospetticamente molto vicine. A causa di tutti questi motivi e siccome  il suo valore è praticamente ininfluente ai fini amatoriali del calcolo del D.M., la formula principalmente usata rimane la (1°).

L'applicazione principale del D.M. è quella di conoscere la magnitudine apparente di un oggetto posto all'interno di una galassia della quale si conosce con precisione il suo D.M. Dalla formula (2°) infatti potremmo ad esempio prevedere la magnitudine che raggiungerà una supernova  durante il suo massimo di luminosità. Sappiamo infatti dalla teoria che una supernova di tipo I, raggiungerà durante il suo massimo la magnitudine assoluta "M" uguale a circa -18.5^, mentre una supernova di tipo II raggiungerà circa la -16.5^.

Applichiamo queste nozioni teoriche alla nostra galassia presa in esame:

(2°)  m=DM+M

TIPO I        m=31.76+(-18.5)=13.26

TIPO  II      m=31.76+(-16.5)=15.26

In questo caso quindi  possiamo prevedere che in NGC-4321 una supernova di tipo I raggiungerà, durante il suo  massimo, la magnitudine apparente di 13.26  mentre una di tipo II raggiungerà circa la 15.26. Per chi fa ricerca di supernovae questo passaggio matematico è di fondamentale importanza, perchè permette di programmare accuratamente il proprio catalogo di galassie da osservare in funzione della magnitudine limite del sistema usato, visuale, fotografica o C.C.D. abbinato al proprio telescopio.

Sarà infatti inutile porre la propria attenzione su quelle galassie nelle quali le possibili supernovae non raggiungeranno la magnitudine limite del proprio strumento. A tale proposito ricordiamo la formula per calcolare la magnitudine limite visuale di uno strumento:

(5°)  m-max.vis=6.8+5*logD     dove D=diametro dell'obiettivo espresso in cm

Tale cifra può comunque variare anche di circa una magnitudine, a causa  sia delle condizioni di cielo, trasparenza e turbolenza, sia delle condizioni fisiche dell'osservatore  come il confort di osservazione ed il diametro pupillare personale.

Analogamente l'osservazione di supernovae durante il loro massimo permette di stabilire (dopo aver ricavato dalla curva di luce la tipologia precisa) la distanza  della galassia di appartenenza. Applicando infatti ancora l'espressione (1°) calcoleremo il D.M. della galassia e come vedremo poi dal  D.M. potremmo calcolare la distanza della galassia nella quale è stata osservata la supernova.

La stima della distanza delle galassie si ottiene attualmente con varie metodologie. 

Quella principale, che è anche quella a cui si fa riferimento come la più precisa, è quella dell'osservazione delle variabili cefeidi presenti nella galassia stessa. Tali variabili hanno un rapporto periodo-luminosità noto con grande precisione. Estrapolando dalla curva di luce la  luminosità assoluta e conoscendo quella apparente si ricava la distanza. Gli unici limiti di questo sistema sono rappresentati dalla presenza di polvere interstellare posta tra la stella e l'osservatore e dalla distanza delle galassie più distanti che non permettono di essere risolte in stelle.

Un secondo metodo molto preciso è conosciuto con il nome di "Tully-Fisher" e si basa sulla correlazione tra luminosità, velocità di rotazione e massa della galassia ed è anch’esso estremamente preciso.

Ricordo inoltre il metodo basato sulla stima della luminosità delle nebulose planetarie e quello della variazioni di luminosità apparente superficiale della galassia. Quest'ultimo, risultato abbastanza preciso, parte dal presupposto che galassie più vicine abbiano una luminosità superficiale molto più variabile rispetto a quelle lontane.

Ultimamente poi sono stati messi a punto altri  due nuovi sistemi di misurazione della distanza. Il primo si basa sulle differenti traiettorie che percorrono due fasci di luce quando, interposta tra l'osservatore e la galassia, ci sia una lente gravitazionale la quale farà pervenire all'osservatore, in tempi diversi, due fotoni partiti contemporaneamente dalla galassia stessa. Il secondo, invece, si basa sulla diversa intensità della radiazione cosmica di fondo in corrispondenza della posizione della galassia. Tale metodo è conosciuto con il nome di "Sunjaev-Zel'dovic" dal nome dei suoi ideatori.

Non ho ancora nominato altri due metodi fondamentali per la determinazione della distanza delle galassie, quello dell'osservazione delle supernovae e quello basato sull'osservazione dello spostamento verso il rosso delle righe spettrali della galassia. Queste metodologie saranno infatti sviluppate e approfondite più avanti.

Prima però di  conoscere la formula per ricavare la distanza della galassia conoscendone il DM preferisco sviluppare tutti i passaggi matematici che l'hanno definita.

Si parte infatti da una semplice proporzione tra il rapporto fra la luminosità assoluta ed apparente della galassia e il rapporto fra distanza reale e distanza  di 10 PARSEC alla quale viene misurata la "M".

m/M=d^2/10^2                                   dove d=distanza galassia espressa in parsec

si esprimono poi m/M in funzione della magnitudine

2.512^(m-M)=d^2/10^2

si applicano quindi i logaritmi

0.4^(m-M)=(2*(log d))-2

 dalla (1°) DM=m-M otteniamo che

(6°)   DM=(2*(log d))-2)/0.4

Dalla formula (6°) possiamo quindi calcolare il DM conoscendo la distanza della galassia che in questo caso è espressa in PARSEC. Se invece come spesso succede la distanza è espressa in MEGAPARSEC (milioni di parsec), la formula diventerà:

(7°)   DM=(5*log d)+25                          dove d=distanza della galassia in megaparsec

Da questa ultima formula possiamo finalmente estrapolare la distanza della galassia in funzione del DM

(8°)   d=10^[(DM/5)-5]                         dove d è espressa in megaparsec

Applicando tali formule alla galassia NGC 4321, presa  come esempio precedente, possiamo calcolare che la sua distanza è pari a 22.49 megaparsec, pari a  circa 73.31 milioni di anni luce. Come verifica possiamo poi  risolvere la (6°) e la  (7°) ed otterremmo nuovamente un D.M.=31.76.

Passiamo ora a calcolare il DM in funzione della velocità di recessione della galassia. Tale velocità corrisponde secondo la nota legge di Hubble infatti la velocità con la quale la galassia si allontana da noi è proporzionale alla sua distanza. Quindi maggiore sarà la distanza, maggiore sarà la velocità di fuga della galassia. Nell'espressione quindi apparirà "H°" che corrisponde alla "costante "di Hubble. Tale numero viene continuamente aggiornato ed il suo valore oscilla tra 50 e 100. Ultimamente però sembra che questo numero sembra che si stia stabilizzando intorno al valore di 70 che assumeremo quindi per i nostri calcoli.

(9°)    DM=[(log(Vr/H°)+5]*5                        

Vr=velocità di recessione espressa in km/sec                                                                                  

H°="costante" di Hubble=70

In NGC-4321 la velocità di recessione è uguale a 1543 Km/sec. Sostituendo tali valori alla (9°) otterremo un DM=31.72, molto vicino a 31.76 ottenuto in precedenza.

Dalla (9°) possiamo ancora estrapolare la velocità di recessione ,Vr, e calcolarla in funzione del modello della distanza:otterremmo quindi che

(10°)   Vr=inv log [(DM/5)-5+log H°]

A questo punto possiamo calcolare anche lo spostamento verso il rosso, chiamato comunemente "Z", causato dalla velocità di recessione e che troveremo nelle righe spettrali della galassia presa come esempio.

(11°)    Z=Vr/c                                             

c=velocità della luce nel vuoto=299793.540Km/sec circa

Vr=velocità di recessione

Nel nostro caso avremo che:

Z=1543/299793.540=0.005147

La conoscenza dello "Z" quindi  ci consentirà di poter prevedere a quale lunghezza d'onda troveremo la riga ad esempio dei 423 nanometri. Basterà infatti moltiplicare 423 per 1+Z ed otterremmo il valore di 425.177  nanometri quindi con uno spostamento verso il rosso di 2.177 nanometri. Se però la velocità di recessione supera un decimo della velocità della luce la formula per calcolare lo "Z" sarà la seguente:

(12°)   Z=[(c+Vr)/(c-Vr)]^0.5-1

Come si vede siamo partiti dalla semplice conoscenza della magnitudine assoluta e dalla magnitudine apparente, nell’esempio entrambe nel blu, ed ora conosciamo dal calcolo del Modello della Distanza la luminosità prevista di tutti i tipi di supernova, la distanza della galassia, la sua velocità di recessione ed infine potremmo prevedere dove trovare ogni riga dello spettro della galassia.

Da rilevare che per ottenere tutto ciò è stato necessario applicare le più elementari nozioni di matematica che ci hanno dato una conoscenza molto più completa e precisa della galassia in questione.

BIBLIOGRAFIA

-Atlante fotografico di galassie per la ricerca di supernovae Vol. 1-2-Manuel Lopez Alvarez

-Le stelle Variabili:Leonida Rosino edizioni COELUM

-The Supernova search charts:Thompson Bryan edizioni Willmann Bell

-La velocità di espansione dell'universo: Scientific American-n° 293 gennaio 1993-pag 16-23